ОТКРЫТЫЙ ДИСТАНЦИОННЫЙ УРОК

по теме: "Преобразование выражений, содержащих квадратные корни".

Учитель математики - Ветохина Антонина Сергеевна

Место работы : ОГКОУ «Школа-интернат № 88 «Улыбка» г. Ульяновск, Ульяновская

область

Предмет: алгебра

Класс: 8

Базовый учебник: « Алгебра 8 класс» : Учебник для общеобразовательных учреждений. Ю.Н. Макарычев, Н.Г.

Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. - М.: Просвещение, 2011 г

ТДЦ:

Обучающая:

продолжить формирование навыков:

вынесения множителя за знак радикала;

внесения множителя под знак радикала;

разложения на множители;

сокращения дробей;

научить учащегося применять первоначальные знания: свойства корня.

Развивающая : продолжить развитие:

практических умений и навыков;

навыки правильной математической речи;

познавательной деятельности учащегося;

логического мышления учащегося при вычислении в заданиях.

Воспитывающая: продолжить формирование:

культуры общения и культуры ответа на вопросы;

культуры умственного труда;

формировать положительное отношение к предмету, интерес к знаниям.

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения : наглядно-словесный, репродуктивный.

Формы организации познавательной деятельности на уроке : самостоятельная и индивидуальная работа.

Оборудование, оформление и техническое оснащение урока:

материалы сайта i-школы « Алгебра - II (8 класс) » ( http://iclass.home-edu.ru );

материалы сайта «ЯКласс» ( http://www.yaklass.ru );

компьютер, мультимедийный проектор.

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Физкультминутка для глаз .

4. Изучение нового материала.

5. Физкультминутка двигательная .

6. Закрепление полученных знаний. Практическая работа.

7. Рефлексия. Подведение итогов урока.

8. Домашнее задание.

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

До начала урока, учащийся осуществляет «Вход» на сайт i -школы под своим логином и переходит в курс « Алгебра - II (8 класс) » .

Потом открывает программу Skype для участия в уроке.

Этап учебного занятия	Задачи этапа	Деятельность учителя	Деятельность учащегося	Ожидаемый результат
1. Организационный момент. 2 мин	Организовать внимание учащегося и готовность к уроку. Раскрыть общие цели урока и плана его проведения Провести релаксацию и дыхательные упражнения.	Учитель приветствует учащегося, спрашивает о настроении и готовности к уроку. Желает совместной плодотворной работы. Сообщает цели и план урока. Просит зайти в закладки: сайт «ЯКласс» предмет 8 класс, в тему III. Функция квадратного корня. Свойства квадратного корня и сделать вкладки занятий 4 и 5 в курсе Алгебра - II (8 класс) » перейти в тему 13 и сделать вкладку урока 26 Соберёмся с силами . В четыре приёма глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов с силой выдохнем, задувая воображаемую свечку. Повторим это 2 раза.	Учащийся приветствует учителя. Отвечает на вопросы. Под руководством учителя делает нужные вкладки. Выполняет дыхательные упражнения	Эмоциональный настрой учащегося на урок. Создание доброжелательной атмосферы и делового настроя. Учащийся готов к уроку.
2. Актуализация опорных знаний 1) Проверка домашнего задания. 2 мин 2) Повторение пройденного материала. 6 мин.	Выявить правильность выполнения домашнего задания. Повторить: - свойства квадратных корней	Учитель предоставляет свой экран учащемуся. Открывает выполненную им домашнюю работу. Просит самостоятельно найти ошибки и исправить их, если они имеются. Выключив доступ своего экрана, просит учащегося предоставить доступ своего экран а и перейти на вкладку сайта «ЯКласс» и открыть в занятии 4: Тест «Тренировка по теме: «Свойства квадратных корней» Просит учащегося выключить доступ своего экрана и переходят к физкультминутке.	Принимает замечания или одобрение учителя по выполненному домашнему заданию. Учащийся предоставляет свой экран и, открыв Тест , выполняет его. Учащийся выключает доступ своего экрана.	Проверенное домашнее задание. Учащийся должен: Знать: свойства корней; Уметь: вносить множитель под знак корня, выносить множитель из-под знака корня.
3. Физкультминутка для глаз 2 мин.	Профилактика утомления глаз.	Предлагает учащемуся комплекс упражнений для профилактики утомления глаз.		Снятие напряжения глаз.
4. Изучение нового материала 1) Подготовка к изучению 2) Изучение 15 мин.	Организовать деятельность учащегося для получения знаний. Формировать умение самостоятельно изучить новую тему	Учитель просит учащегося предоставить доступ своего экран а и открыть вкладку в курсе « Алгебра - II (8 класс) » : урок 26. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни . Просит учащегося выключить доступ экрана и перейти к физкультминутке.	Предоставляет свой экран учителю. Открывает: урок 26 Читает рассмотренные решения примеров, комментируя какие формулы применяются при их решении. Учащийся выключает доступ экрана.	Учащийся готов к получению новых знаний. Учащийся должен иметь представление о преобразовании выражений, содержащих квадратные корни Применять формулы сокращенного умножения.
5. Физкультминутка двигательная 2 мин.	Снять утомление с плечевого пояса и рук	Учитель предлагает учащемуся комплекс упражнений для снятия утомления с плечевого пояса и рук	Учащийся выполняет предложенные упражнения под руководством учителя.	Снятие утомления с плечевого пояса и рук
6. Закрепление полученных знаний. Практическая работа. 6 мин.	Обеспечить понимание учащегося цели, содержания и способов выполнения практических заданий.	Учитель просит учащегося предоставить доступ своего экрана. И для закрепления новой темы, предлагает учащемуся перейти на вкладку сайта «ЯКласс», и открыть в занятии 5: Задания с 1 по 8 .	Учащийся переходит на вкладку сайта «ЯКласс» и открывает в занятии 5 задания ивыполняет их. Потом выключает доступ экрана.	Уметь применять знания на практике.
7. Рефлексия. Подведение итогов урока. 2 мин.	Выявить уровень достижения цели урока.	Учитель оценивает активность работы учащегося на уроке по выполненным заданиям. Задаёт вопросы учащемуся: Что мы изучали на уроке? Чему ты научился на уроке? В чём испытывал затруднения? Учитель объявляет учащемуся оценку, комментируя ее объективность.	Учащийся анализирует свою работу, оценивает её. Рассказывает, что понравилось на уроке, что получалось легко, над чем хотелось бы поработать.	Объективность качественной оценки.
8. Домашнее задание.

«Средняя общеобразовательная школа №51»

На конкурс «Учитель года», школьный этап

План-конспект урока математики для 8 «А» класса

Тема: Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня.

Выполнила:

Учитель математики

Аралбаева Нурслу Еркагалеевна

МОБУ «СОШ №51»

г.Оренбург, 2015г.

Тип урока : систематизация и обобщение знаний.

Методы обучения : проблемный, словесный, наглядный, практический.

Формы классной работы : индивидуальная, парная.

Оборудование :

мел, классная доска

компьютер

мультимедийный проектор с экраном

электронная версия урока - презентация

раздадочный материал (кардочки с заданиями разного уровня)

Цели урока:

Образовательная: обобщить знания по всем видам преобразований выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, закреплять умения пользоваться свойствами квадратного корня, учиться использовать полученные знания для подготовки к РОЭ.

Развивающая: развитие нестандартного подхода к решению проблемы; развитие мышления, грамотной математической речи, навыков самоконтроля; формировать умение организовывать свою деятельность.

Воспитательная: способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации.

Учащиеся должны знать:

Алгоритм внесения множителя под знак корня.

Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня.

Применение свойств квадратного корня.

Определение квадратного корня.

« Величие человека в его способности мыслить ».

Блез Паскаль.

I Организационный момент

Вступление. Сообщение темы и целей урока.

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

Что есть больше всего на свете? – Пространство.

Что быстрее всего? – Ум.

Что мудрее всего? – Время.

Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

В данный момент в класс стучатся и сообщают о том, что школа получила почту, в которой была бандероль для 8 “А” класса. Учитель вскрывает бандероль, в которой находятся письма для каждого учащегося. Получив конверты, учащиеся знакомятся с содержимым. Один из учеников читает вслух рекомендательное письмо:

Уважаемая Нурслу Еркагалеевна!

Оренбургский Государственный университет предлагает Вам принять участие в международном конкурсе “Дети - наше будущее”. Целью проводимого конкурса является выявление одаренных детей в различных регионах нашей страны и предоставление им возможности обучаться в высших учебных заведениях на государственной основе.

Поскольку профилирующими предметами у нас являются математика, физика, информатика, то для участия в конкурсе “Дети - наше будущее” необходимо выполнить задание по предмету “Математика”. Рекомендации по другим предметам Вы получите позже.

Помните, при положительных результатах у Вас появится шанс на поступление в наш университет.

Желаем удачи!

Учитель:

Ребята, нам предлагают принять участие в конкурсе “Дети - наше будущее” и у Вас появится возможность поступить в ВУЗ. Для этого необходимо выполнить предлагаемые задания. Однако, прежде, чем перейти к выполнению задания, повторим основные моменты по теме.

II Актуализация знаний

Вынести из-под знака корня:

Внести множитель под знак корня:

Возведите в квадрат:

Приведите подобные слагаемые:

Получи рисунок (работа в парах)

III Физминутка

Физкультминутка для глаз

IV Тестовая работа.

Тест из заданий РОЭ

Найти значение выражения:

-2(
) 2

А. 9,6 Б. 0 В. 0,38 Г. 2,4

А. 42 Б. 18 В. 60 Г. 6

Найти значение выражения:

0,5
+ 3

А. 62,93 Б. 0 В. 8,2 Г. 1

Найти значение выражения:

- 0,5 (
) 2

А. 141 Б. 9. В. 6 Г. 0

А. 0 Б. 0,7 В.1 Г.0,1

Найти значение выражения:

-2(
) 2

А. 8,75 Б. 0,1 В. 0,28 Г. 3,6

А. 47 Б. 8 В. 70 Г. 16

Найти значение выражения:

0,5
+ 3

А. 0 Б. 58,61 В. 8,1 Г. 1

Найти значение выражения:

- 0,5 (
) 2

А. 7 Б. 121 В. 6 Г. 0

А. 0 Б. 1 В. 0,3 Г. 0,1

Заполнив таблицу, учащиеся вкладывают выполненное задание в конверт и сдают учителю. Учитель выставляет оценки, благодарит учащихся за работу и сообщает, что на следующем уроке учащиеся получат конверты с результатом и узнают о шансе поступления. VII Итог урока.

Рефлексия

Наша работа подходит к концу и наступает момент творчества. Какой праздник нас ожидает в ближайшее время (Новый год). Мы нарядим «Ёлочку настроения». И пусть она соединит в себе ваше настроение, ваши чувства и эмоции от урока.

Я доволен своей работой на уроке (смайлик соответствующий)

На уроке я работал неплохо.

На уроке мне было трудно.

Пожалуйста, выберите соответствующий вашим эмоциям смайлик, подойдите к доске и повесьте его на ёлочку.

Что же у нас получилось? Очень яркая ёлочка говорит о том, что вы с интересом работали на уроке, узнали много нового, что заставило вас задуматься и изменить свое отношение к алгебре. Я позволю себе добавить несколько штрихов:
- Пусть снежинки окрыляют нас к успеху и творчеству (вешаю снежинки).
- Я надеюсь, что урок принес радость не только мне, но и вам уважаемые мои ученики (Включаем гирлянду).
- А те знания, что вы приобрели, сегодня пусть останутся с вами навсегда.

VIII Задание на дом:

Дифференцированное: уровень А – оценка «3», уровень В – оценка «4», уровень С – оценка «5».

Выставление оценок

Литература:

Программа: для общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г.Мордковича.

Поурочные разработки по алгебре 8 класс О.В.Занина, И.Н. Данкова.

Муниципальное казенное образовательное учреждение

«Новоникольская средняя общеобразовательная школа»

Быковского муниципального района Волгоградской области

Урок алгебры в 8 классе

Выполнила : учитель математики

Новоникольское – 2015

Урок алгебры в 8 классе

по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»

Цели урока:

повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня;

закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни;

научить освобождаться от иррациональности в знаменателе дроби;

воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, интерес к предмету.

Оборудование : мультимедийный проектор, интерактивная доска, оценочные листы, карточки с тестом, карточки с домашним заданием.

Ход урока:

I . Организационный момент

Сегодня на уроке мы с вами продолжим преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Подвести итоги сегодняшнего урока поможет оценочный лист. Подпишите свои листы и ответьте на первый вопрос «Настроение в начале урока», выбрав один из смайликов.

В математике есть нечто,

вызывающее человеческий восторг.
Ф. Хаусдорф

II . Устная работа

1) Фронтальный опрос.

Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).

Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).

Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х| ).

Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? хх. –х ).

2) Устный счёт: Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

"Устный счёт!" Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Цифры сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица.

Потому что считаем в уме!

Вычислите устно:

1. Вынесите множитель из-под знака корня:

2. Внесите множитель под знак корня:

3. Возведите в квадрат:

4. Приведите подобные слагаемые:

III . Диктант:

Вариант-1	Вариант- 2	Ответы:	Ответы:

IV .ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

V . Историческая справка

Radix - имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)»

Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»).

Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались

точкой ·5

Позднее вместо точки стали ставить ромбик ¨5

Затем Ú 5 . Затем знак Ú и черту стали соединять.

VI этап. Работа над новым материалом.

Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность.

Ставится проблема: « Какое выражение проще вычислить: или ? Почему? (Потому, что делить на рациональное число проще, чем на иррациональное.)

Сегодня на уроке мы и будем изучать тему

« Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби». Попробуем освободиться от иррациональности в знаменателе в следующих примерах:

а); б) ; в); г).

На какое выражение нужно умножить знаменатель дроби, чтобы корни «исчезли»? А для того чтобы дробь не изменилась, что нужно сделать? Получаем следующую запись решения.

г)=

Сделаем вывод.

Преобразование, при котором в знаменателе дроби исчезают корни, называют освобождением от иррациональности в знаменателе. Мы увидели два основных приема освобождения от иррациональности в знаменателе:

VII . Закрепление темы : Учебник. Стр.98 № 431(а,б,ж,з), №433(а,б,в)

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) ; б) в); г) .

VII I . Тест (работа в парах )

Английский философ Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».

На этом этапе урока необходимо применить свои знания к решению упражнений в ходе выполнения теста. (тест прилагается )

Самопроверка:

Код правильных ответов: I вариант – 12312 , II вариант - 32132.

Домашнее задание: №431(з,и), №432, №433(г,д,е)

IX . Итог урока:

Заполните до конца оценочный лист. Оценки за урок.

Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской.

Небо покроется черною мглой,

В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути. А как мы сегодня с вами преодолевали преграды? Чем мы занимались на уроке?

- Сегодня мы повторили определение и свойства арифметического квадратного корня; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, формулы сокращённого умножения; ознакомились и закрепили некоторые способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Расширили свой кругозор и узнали, кто впервые ввёл современный знак корня во всеобщее употребление.

Все работали плодотворно, активно и коллективно в течении урока.

Урок окончен. Всем спасибо за урок!

ЛИСТ-ОПРОСНИК

Ф.И. ученика____________________________

1. Настроение в начале урока: а) б) в)

2. Мое восприятие темы урока:

а) усвоил(а) все; б) усвоил(а) почти все; в) усвоил(а) частично, нуждаюсь в помощи.

3.Оценка за диктант:

4. Количество неправильных ответов теста: _________

5. Я работал(а) на уроке:

а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) неудовлетворительно.

6. Я оцениваю свою работу на ______ (поставьте оценку)

7. Я оцениваю урок на _____ (поставьте оценку)

8. Настроение в конце урока: а) б в)

Тест I вариант 1. Упростите выражение 1) 2) 3) 2. Раскройте скобки и упростите выражение: 1) 18; 2) 12; 3) 22. 3. Упростите: 1); 2) ; 3) . 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе = 1) ; 2) ; 3) . 1) ; 2) ; 3); 4)

Тест II вариант 1. Упростите выражение 1); 2) ; 3) 2. Раскройте скобки и упростите 1) 8; 2) 12; 3) 10. 3. Упростите: 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 1) ; 2); 3) . 5. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) ; 2) ; 3) Чему равен квадратный корень из произведения неотрицательных множителей?. Чему равен квадратный корень из дроби? Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? Ни костяшек, ни ручек, ни мела. Ну-ка, в сторону карандаши! "Устный счёт!" Мы творим это дело Только силой ума и души. Цифры сходятся где-то во тьме, И глаза начинают светиться, И кругом только умные лица. Потому что считаем в уме! Устный счёт Вынесите множитель из-под знака корня: Немного подумайте Устный счёт Внесите множитель под знак корня: Внесите множитель под знак корня: Внесите множитель под знак корня: Внесите множитель под знак корня: Немного подумайте Устный счёт Возведите в квадрат: Немного подумайте Устный счёт Приведите подобные слагаемые: Немного подумайте III . Диктант: Вариант-1 Вариант- 2 Ответы: Ответы: Radix - имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)» Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал») Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5 Позднее вместо точки стали ставить ромбик  5 Затем  5 . Затем знак  и черту стали соединять. Взаимопроверка I вариант II вариант п.19, стр. 96, пример 3 № 431 (з, и), №432, №433 (г, д, е) Если в жизни ты хоть на мгновенье Истину в сердце своем ощутил, Если луч света сквозь мрак и сомненье Ярким сияньем твой путь озарил: Что бы в решенье твоем неизменном Рок ни назначил тебе впереди, Память об этом мгновенье священном Вечно храни, как святыню в груди. Тучи сберутся громадой нестройной, Небо покроется черною мглой, С ясной решимостью, с верой спокойной Бурю ты встреть и померься с грозой.

Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.

Навигация по странице.

Вспомним свойства корней

Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.

Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа):

А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , ..., n k - натуральные числа):

Преобразование выражений с числами под знаками корней

По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.

Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.

Приведем еще несколько примеров.

Упростим выражение . Числа 3 , 5 и 7 положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3 - как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:

Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:

Возможны и другие варианты решения, например, такой:

Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a . Имеем:

Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием

а уже дальше применять свойства корней

До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.

Пример.

Преобразуйте иррациональное выражение .

Решение.

По свойству первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2 :

Идем дальше. Второй множитель в силу свойства можно представить как , а 81 не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3 :

Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: . Имеем

Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид , и остается преобразовать произведение корней.

Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12 , и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так . Учитывая этот результат, имеем

Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:

Оформим краткий вариант решения:

Ответ:

.

Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a . На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2 . Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.

Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a – отрицательное число (при этом a – положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2 и −3 – отрицательные числа, но позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: . А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так , а так .

Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо

• выбрать подходящее свойство из списка,
• убедиться, что числа под корнем удовлетворяют условиям для выбранного свойства (в противном случае требуется выполнить предварительные преобразования),
• и провести задуманное преобразование.

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x , которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0 , так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0 .

Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2 . Если сразу подставить вместо переменной x число −2 , то получим нужное нам значение . А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x число −2 и приходим к выражению , которое не имеет смысла.

Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0 , его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪∪}